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\author{Adrien Chaud}
\title{Rapport de stage \\ à l'Institut de Mathématiques de Bordeaux}
\begin{document}

\begin{titlepage}
	\centering
	\includegraphics[width=0.4\textwidth]{logo-ub}\par\vspace{1cm}
	{\scshape\Large Stage d'excellence \par}
	\vspace{1cm}
	{\huge\bfseries Rapport de stage \\
	à l'Institut de Mathématiques \\
	de Bordeaux\par}
	\vspace{1.5cm}
	{\huge\itshape Vulgarisation et pédagogie :\\
	comment expliquer les mathématiques ?\par}
	
	\vfill

	\begin{flushleft}
	{\Large\itshape CHAUD Adrien\\                         
	Maître de stage : \textbf{Vincent Bruneau}\\
	Avec \textbf{Xavier Caruso} et \textbf{Marcu-Antone Orsoni}.\\
	20 mai — 14 juin 2019
	\par}
	\end{flushleft}
\end{titlepage}
\setcounter{page}{2}
\part*{Introduction}
Dans le cadre du dispositif de stage d’excellence qui m’a été proposé, j’ai choisi d’effectuer mon stage à l’Institut de Mathématiques de Bordeaux, le laboratoire de recherche de mathématiques, lié à l’Université de Bordeaux. J’ai ainsi contacté Vincent \textsc{Bruneau}, responsable de la licence de mathématiques à l’Université, qui a accepté d’être mon maître de stage.

L'Institut de Mathématiques de Bordeaux (IMB) regroupe depuis 2007 les équipes de mathématiques bordelaises de trois établissements : l'Université de Bordeaux, Bordeaux INP et le CNRS. Il est établi dans le bâtiment A33 de l'Université de Bordeaux, mais également dans le bâtiment INRIA Bordeaux, ainsi que dans l'Institut de rythmologie et de modélisation cardiaque, IHU Lyric, au sein de l'hôpital Xavier Arnosan, à Pessac.

Ce stage d’excellence est une occasion de m’approprier et de découvrir quelque peu en profondeur le monde de la recherche, et l’univers d’un enseignant-chercheur. Ensemble, nous avons convenu d’un stage d’excellence plus axé sur la pédagogie, nécessaire à la compréhension par les divers publics des mathématiques, et plus généralement de la matière enseignée. En effet, j’aspire à terme à être enseignant agrégé dans le secondaire, et la pédagogie est un outil-clé à maîtriser pour pouvoir partager ses connaissances avec des élèves, public jeune qui aspire à comprendre les mathématiques.

Cependant, la pédagogie n’est rien sans l’intérêt qui doit être porté par les différents publics au sujet. À ce titre, on parle de plus en plus de vulgarisation scientifique, pour nommer la volonté et les efforts permettant de faire comprendre des sujets scientifiques à un public non spécialiste, dans un effort de susciter la curiosité, voire de faire découvrir des vocations. Ce désir de pédagogie se retrouve sur une variété de supports, et permet de faire découvrir des pans entiers de sciences, autrefois réservées à un public de niche. %Vidéos, maquettes, visualisations… ces outils permettent d’améliorer, en mathématiques notamment, la compréhension de sujets par des publics divers, du collégien à ses parents, en passant par l’étudiant de première année.
\bigskip

C’est ainsi que mon maître de stage et moi avons tourné ce stage vers la recherche — difficile mais nécessaire — de la compréhension des sujets mathématiques, travail des enseignants-chercheurs chargés de la réalisation des programmes, de licence notamment, ainsi que de leur enseignement. Afin de voir différents pans de cette thématique déjà large, ce stage a été divisé en trois parties, sur trois sujets différents, avec trois responsables, tous chercheurs (ou doctorant) de l'IMB. Dans le cadre de ce stage, j’ai étudié durant deux semaines le programme de première année de mathématiques du portail MISIPCG, afin d’y proposer des modifications, notamment concernant le serveur d’exercices en ligne WIMS. J’ai également durant cette période réalisé plusieurs visualisations en ligne à destination des futurs étudiants en première année, qui sont mises à disposition de ces derniers dès le premier semestre de l’année 2019 – 2020. J’ai ensuite, avec Xavier \textsc{Caruso}, chercheur à l’IMB, fabriqué un objet physique permettant de visualiser une problématique mathématique simple : quel est le parcours le plus rapide pour qu’une bille aille d’un point à un autre ? Cet objet a été entièrement conçu et réalisé par nous-même, grâce au concours du Fablab de l’IUT de l’Université de Bordeaux. Il a été et sera ensuite disponible sur les différents forums, sites et portes ouvertes de l’IMB et de l’Université, pour présenter l’Institut de Mathématiques, et potentiellement attirer des gens vers ce domaine. Enfin, et car la pédagogie ne fait pas tout, j’ai eu à étudier, grâce à Marcu-Antone \textsc{Orsoni}, doctorant à l’IMB, une thématique de recherche qui paraît simple à première vue, mais se révèle difficile à montrer : la construction des nombres réels. Cette semaine de recherche m’a permis de me confronter au travail plus théorique des enseignants-chercheurs ; et ce rapport de stage est une occasion directe de m’essayer à la pédagogie, et d’expliquer à un autre public un problème mathématique moins explicite.

\part*{I — Contributions au programme de première année}
Les deux premières semaines de ce stage ont été consacrées à l’étude et à la proposition de modifications, concernant les programmes des enseignements mathématiques en première année de licence. À l’Université de Bordeaux, la licence mention mathématiques passe par un premier semestre, le portail MISIPCG, commun à la majorité des mentions de sciences, composé notamment d’une UE \og Bases Mathématiques pour les Sciences\fg\  et d’une UE à choix \og Coloration Mathématique\fg, suivi d’un deuxième semestre, commun à la mention mathématiques et à la mention informatique, avec comme enseignements de mathématiques, une UE obligatoire, \og Algèbre linéaire I\fg, ainsi que deux UE à choix, \og Analyse\fg\  et \og Mathématiques discrètes\fg. Ainsi, il m’a d’abord été demandé d’étudier les quatre premières UE (n’ayant pas choisi \og Mathématiques discrètes\fg\  comme UE à choix durant mon second semestre), afin de préciser les points de difficulté et de proposer des modifications sur le programme, notamment vis-à-vis du décrochage d’étudiants en raison de connaissances mal maîtrisées.

Ce travail de retour d’expérience et d’analyse des points considérés sensibles par les étudiants autour de moi durant l’année a permis de déceler plusieurs incompréhensions du programme, parfois liées à des visions différentes entre les rédacteurs de ce dernier et les étudiants. On peut citer un manque d’explications sur l’importance du pivot de Gauss dans la résolution de systèmes linéaires, qui n’est réellement considérée que dans l’enseignement \og Algèbre linéaire\fg\  du deuxième semestre alors qu’elle a permis une meilleure compréhension des systèmes linéaires, et qui aurait pu être étudiée dès le premier semestre ; l’absence d’une vision d’ensemble du programme d’algèbre linéaire, qui paraît saccadé pour des étudiants qui peuvent ne pas voir le lien entre les notions enseignées, lien pourtant essentiel à la compréhension globale d’une matière par opposition à l’apprentissage de notions indépendantes…

L’étude a également concerné les ressources mises à disposition des étudiants sur leurs enseignements, et censées les aider dans l’apprentissage, voire dans l’approfondissement de notions abordées en cours. Ces ressources sont multiples, et dépendent des enseignements : cours supplémentaires et vidéos déposées sur la plateforme Moodle, sites Internet sur des problèmes mathématiques avancés, mais surtout serveur interactif d’exercices en ligne WIMS. Ce dernier a été utilisé, lors de l’année universitaire 2018 — 2019, sur deux UE de mathématiques : \og Bases Mathématiques pour les Sciences\fg, et \og Analyse\fg. Les retours d’étudiants durant l’année, et l’analyse fine de la centaine d’exercices obligatoires proposés, ont été consignés dans des fiches, à destination notamment de Chantal \textsc{Menini}, enseignante-chercheuse de mathématiques et responsable du programme \textit{Soutien à la transformation et à l’expérimentation pédagogiques}, à l’origine des exercices sur le serveur WIMS. À partir de ce travail préliminaire, et à la demande de cette dernière, une nouvelle organisation des exercices en ligne a été proposée, avec notamment des exercices de révision à faire nécessairement avant une certaine date, afin de pouvoir accéder aux exercices suivants (notés). Cela permet, dès les premières semaines, de voir les personnes ayant des difficultés sur les notions de bases. Ce plan est accompagné de propositions de nouveaux exercices, permettant notamment aux étudiants de faire un bilan sur leurs connaissances grâce à des exercices mélangeant diverses méthodes, de détermination de limite ou d'intégrale par exemple, vues tout au long du semestre. Le document bilan, disponible en annexe, a été distribué aux enseignants faisant parti du groupe STEP, pour une évolution de ce programme pour l’année universitaire 2019 — 2020.

À la suite de ce travail, plusieurs axes d’améliorations ont été proposés concernant les quatre enseignements de mathématiques étudiés : donner une vision d’ensemble du programme, lors des premiers enseignements du semestre, à l’instar de ce qui est fait avec le cours de \og Bases Mathématiques pour les Sciences\fg\  où une page introductive explique les tenants et aboutissants du cours ; simplifier le programme, notamment concernant des notions vues en double sur les deux semestres ; poursuivre les modalités d’évaluation actuelles, grâce aux exercices WIMS ou aux devoirs maison réalisés en groupe, permettant de s’approprier des notions ; ou encore créer des visualisations, ressources essentielles, afin d’aider à la compréhension du cours ou à une meilleure assimilation des notions.
\bigskip

Durant la seconde semaine, il m’a été demandé d’approfondir ce dernier axe, en créant moi-même les visualisations qui serviront aux étudiants dès cette rentrée. Pour cela, je me suis servi du logiciel GeoGebra, un logiciel libre de géométrie dynamique, qui autorise l’intégration native de fichiers sur Internet (à travers une balise HTML \texttt{<iframe>}), permettant alors d’inclure ces visualisations sur la plateforme Moodle de l’enseignement et ainsi d’être accessible à tous les étudiants. Les visualisations réalisées ont porté sur des points du programme manquant d’explications, ainsi que là où une visualisation paraissait logique et facilement recréable sur le logiciel. Trois sujets ont été choisis : une explication visuelle des formules d’Euler, une formule liant la forme exponentielle et la forme trigonométrique d’un nombre complexe, ainsi que deux formules qui en décombent qui redéfinissent les fonctions sinus et cosinus ; une animation sur les racines $n^{i\grave{e}mes}$ de l’unité, les nombres complexes dont la puissance $z^n$ est égale à 1 (avec $n$ non nul) ; et deux visualisations sur les concepts de sommes inférieure ou supérieure, et de sommes de Riemann, permettant de définir l'intégrale d’une fonction mathématique.

La première étape pour la réalisation de chacune de ces visualisations a été de les imaginer, et de les dessiner… à la main, sur une feuille de papier. Ceci permet de poser sur table les premières idées que l’on a de la visualisation, tout en vérifiant quels aspects mathématiques de celle-ci peuvent être conçus ou non. Ce préambule permet surtout un gain de temps considérable par rapport à une conception directement par ordinateur : il est en effet plus simple de dessiner l’animation sur papier, puis de la rectifier au besoin, que de créer \textit{ex nihilo} un fichier de géométrie dynamique… Enfin, il est possible de vérifier au besoin les idées que l’on a de la visualisation, notamment sur les questions des notions à faire comprendre, avant d’entamer la partie technique de la réalisation de la visualisation.

Une fois cette étape de brouillon réalisée, j’ai pu commencer la réalisation sur GeoGebra des différentes animations. Fort heureusement, je connaissais déjà le logiciel, et avait ainsi quelques bases pour le réaliser. Pour du reste, la documentation officielle, disponible sur Internet à l’adresse \texttt{https://wiki.geogebra.org/fr/} m’a appris à manipuler les outils nécessaires à la réalisation d’animations interactives — permettant par exemple d’afficher des informations lorsque l’étudiant clique sur un bouton, ou de modifier en temps réel une formule selon les paramètres insérés par l’utilisateur.

Néanmoins, pour les besoins de la réalisation des concepts, en particulier l’affichage des formules de mathématiques, il m’a fallu apprendre des notions de LaTeX, un langage permettant de réaliser, à l’aide d’un interpréteur, un fichier respectant les conventions de mise en page mathématique. Ici, le LaTeX est nécessaire pour l’affichage de formules mathématiques — ce rapport est lui-même écrit en LaTeX — sur Geogebra. Les notions ont là aussi été apprises grâce à de la documentation en ligne, provenant de divers sites Internet, et — surtout — à l’expérimentation sur le logiciel GeoGebra.
\[ e^{i x} = \cos x + i \sin x \]
\begin{center}
{\footnotesize \textit{Formule d'Euler, mise en forme avec LaTeX}}
\end{center}
Toujours est-il que la conception de ces quatre réalisations est une opération longue : il aura fallu plus de cinq heures par animation, afin de créer la visualisation, d’appliquer l’interactivité, de vérifier les réactions à la modification de paramètres par l’utilisateur… Ces visualisations, dont les liens sont disponibles en annexe, sont néanmoins complètes et hautement personnalisables, dans le sens où les étudiants peuvent modifier de nombreux paramètres (concernant la somme de Riemann, notamment) ou tenter de comprendre par eux-même la notion, et de \og construire\fg\  la formule (pour les racines $n^{i\grave{e}mes}$ de l’unité). Elles sont désormais incluses sur les plateformes Moodle sur des enseignements de \og Bases Mathématiques pour les Sciences\fg\  et d’\og Analyse\fg, pour être utilisées par les étudiants dès la rentrée 2019.
\bigskip 

Ce travail autour du programme de première année profite à tous, et m’a permis personnellement de comprendre les processus de fondation du programme de l’enseignement. Il y a en effet nombre d’arbitrages, qui sont invisibles au premier regard des étudiants, mais paraissent logiques a posteriori, avec une vision d’ensemble de l’année : choix d’exercices d’approfondissement pour des étudiants un peu plus avancés, de répétition de notions vis-à-vis des étudiants n’ayant pas compris au premier semestre… Ces arbitrages restent cependant des choix, qui peuvent être rediscutés, et ce stage a également permis de modifier certains points, à la suite de ces retours.

Il y a néanmoins une évolution dans la manière de faire apprendre, grâce en partie au groupe STEP mentionné ci-dessus : l’enseignement se fait avec des efforts, progressifs mais appuyés, de compréhension. Le cours n’est pas simplement un cours, il est lié à des ressources, des méthodes d’apprentissage, pour que l’étudiant puisse s’apprivoiser l’enseignement, et non se contenter d'apprendre des notions. La pédagogie se retrouve ici par les visualisations, par la suite d’exercices obligatoires donnés qui s’installent dans une logique presque narrative du cours, par la contextualisation des enseignements… Le public ici est déjà spécialisé, ou du moins avancé dans les mathématiques, et ces efforts de compréhension de la matière sont destinés à une meilleure progression.
\newpage
\part*{II — Conception et réalisation d'un objet de vulgarisation mathématique}
Néanmoins, tout le monde n’est pas avancé dans les mathématiques, et la pédagogie ne se limite pas au public spécialisé. Pour que les sciences soient ouvertes au plus grand nombre, il est nécessaire de les expliquer sans besoin d’un bagage scientifique, voire d’attirer le monde à partir de problèmes mathématiques simples, de la vie courante. La troisième semaine de mon stage d’excellence, portée par Xavier \textsc{Caruso}, chercheur au CNRS et affecté à l’Institut de Mathématiques de Bordeaux, a concerné ce thème, avec comme objectif la fabrication d’un objet réel, à destination du grand public lors de forums par exemple, permettant de s’interroger sur un problème physique, à lien mathématique. Plus précisément, le but de cette semaine a été de construire une expérience consistant en deux courbes, permettant de faire rouler une bille par dessus, afin de faire réfléchir puis résoudre au public la question suivante : \textbf{quel est le parcours pour qu’une bille aille le plus rapidement d’un point A à un point B} avec du dénivelé ?
\bigskip

En mathématiques, cette interrogation se nomme le problème de la courbe brachistochrone. Dans la pratique, la courbe solution de ce problème est une \textbf{cycloïde}. Une cycloïde est la courbe formée par un point fixe sur un disque en rotation le long d’une droite ; en d’autres termes, c’est la trajectoire que suivrait un chewing-gum collé à la roue d’un vélo en mouvement. Cette courbe a par ailleurs également la propriété de la courbe tautochrone : si on lâche deux billes sans vitesse initiale à deux endroits du parcours, elles arriveront \textbf{au même moment}. L’intérêt d’un tel atelier est ainsi multiple : par intuition et logique d’évidence, une partie du public sera tenté de penser à la droite comme solution du problème ; et lorsque la vraie solution sera donnée, les spectateurs seront encore plus surpris des multiples propriétés de celle-ci, et de l’aisance de sa conception. La cycloïde a pour équations paramétriques :

\[
\begin{cases}
x(\theta)=\frac{D}{2} (\theta - \sin(\theta)) \\
y(\theta)=\frac{D}{2} (1 - \cos(\theta))
\end{cases}	
\]

\bigskip

L’objet a été entièrement conçu par nos soins, puis fabriqué à la découpe laser au Fablab (laboratoire de fabrication) Coh@bit, rattaché à l’IUT de l’Université de Bordeaux, grâce à leurs responsables M. Jean-Baptiste \textsc{Bonnemaison} et M. Pierre \textsc{Grangé-Pradéras}, qui nous ont acceptés dans leurs locaux et ont aidé à la conception technique de l’atelier. Les détails des choix faits, ainsi que l’ensemble des étapes de la conception et de la réalisation sont précisés dans la documentation mise à disposition sur l’espace Intranet du Fablab, disponible à l’adresse \texttt{https://projets.cohabit.fr/redmine/projects/imb-course-\\de-billes/wiki/Wiki}, qui est également présente en annexe.
\bigskip

La première étape de la conception a été de faire des arbitrages concernant la structure, les courbes choisies, ou la méthode de participation du public. Afin d’économiser les ressources disponibles, choix a été fait de réaliser un atelier de courses de billes avec deux pentes placées côte-à-côte sur un support, composées de deux planches fines espacées d’un centimètre sur lesquelles tiennent les billes en équilibre. Ces planches sont découpées afin d’obtenir quatre profils de pentes différents, qui peuvent s’imbriquer les uns sur les autres grâce à des entretoises et créer quatre courbes différentes, sur lesquelles viennent rouler les billes. Ainsi, les spectateurs peuvent choisir et monter par eux-même deux courbes, et comparer le moment d’arrivée de chacune. Pour s’assurer que les billes soient lâchées en même temps, une fourchette tient en suspension les deux billes, qui les fait tomber une fois retirée. Enfin, et d’après les calculs élaborés avant la fabrication des pentes, il n’a pas été choisi de faire un système de chronométrage, la différence pouvant normalement être visible à l'œil.
Quatre courbes ont été choisies, d’inclinaisons très différentes afin d’offrir un large choix au public : la cycloïde ; la droite reliant le point de départ et le point d’arrivée ; mais aussi une courbe intermédiaire entre ces deux-ci, de faible courbure ; ainsi qu’une hyperbole, un profil très courbé avec un départ vertical et une arrivée à l’horizontal.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{courbes-2.png}
\\
{\small \textit{Courbes choisies pour l'atelier, de haut en bas :\\la droite, une courbe de faible courbure, la cycloïde (en rouge), et une hyperbole.}}
\end{center}

Afin de faire découper par l’imprimante les planches de MDF (\textit{Medium Density Fiberboard}, panneau de fibres à densité moyenne) utilisées, les croquis des découpes doivent être réalisés et importés au format SVG, c’est-à-dire sous la forme d’images vectorielles. Ce format consiste à créer une image à partir de formes géométriques (droites, polygones, cercles…) au lieu de définir la couleur de chaque pixel d’une image. Les images vectorielles sont ainsi facilement traitables par l’imprimante, qui sait quelles formes produire. Celles-ci sont écrites en XML, un langage de balisage qui cadre les fonctions du format SVG. Afin de me faire apprendre ce langage, et en raison de la simplicité de nos patrons de découpe, choix a été fait par M. \textsc{Caruso} de créer ces derniers à la main, en écrivant les lignes de code dessinant les différentes formes, au lieu de les dessiner avec des logiciels de dessin vectoriel.
Nous nous sommes ainsi aidé de la documentation technique du langage, disponible sur une plateforme libre de la fondation Mozilla (à l’adresse \texttt{https://developer.mozilla.org/}) afin d’écrire les différentes formes. Une étape supplémentaire a été d’approximer la cycloïde par des courbes de Bézier, l’outil de base de création de courbes au format vectoriel.\footnote{Une courbe de Bézier est une courbe définie par deux extrémités, A et B, et (au moins) deux points de contrôle A’ et B’, tel que la courbe soit tangente à la droite (AA’) au point A, et à la droite (B’B) au point B.} Pour cela, nous avons conçu un algorithme en Python, langage de programmation, afin de déterminer plusieurs points de contrôles permettant d’obtenir un simili de cycloïde. Cependant, le résultat n’était pas satisfaisant lors de l’écriture en SVG, et nous avons finalement choisi d’approximer la cycloïde en centaines de segments, ce qui est amplement suffisant en raison de la précision de l’imprimante et de la taille relativement réduite (40 x 60 centimètres) des planches. Pour obtenir ces points, nous avons là aussi utilisé un algorithme écrit en Python, qui a calculé les coordonnées de ceux-ci à partir des équations paramétriques de la cycloïde, mentionnées ci-dessus.

La conception des fichiers, pour les faces et les entretoises et supports permettant de fixer la structure, a pris une dizaine d’heures. Les fichiers ont ensuite été envoyés à l’imprimante laser, qui a découpé les planches de fibre de bois. Cependant, la planche de dix millimètres d’épaisseur, utilisée pour les entretoises, n’a été que peu découpée, et il a fallu la redécouper à la main. Le reste n’est que travail manuel : découpage au cutter des pièces, limage de celles-ci afin d’améliorer leur emboîtement, vissage des planches aux entretoises, montage de la structure et vernissage.
\bigskip

Visuellement, le résultat obtenu est conforme à nos prévisions. Plusieurs points sont à regretter, comme le manque de stabilité des billes sur la fourchette qui sert à les maintenir avant le départ, ou des rebonds avec la courbe hyperbolique, beaucoup trop pentue au départ. Les temps de parcours, quant à eux, sont conformes à nos prévisions… mais nous avons surestimé le temps de réaction de l’œil humain : en fin de compte, l’écart est visible si on s’y concentre dessus, mais n’est pas significatif, mis à part celui entre le temps de parcours le plus faible (la cycloïde) et celui le plus élevé (la droite). L’expérience reste néanmoins intéressante, et ce problème peut être corrigé en utilisant des cloches ou autres appareils sonores permettant d’entendre l’arrivée de la bille : il peut être plus simple de distinguer deux sons différents que le passage de deux billes en fin de courbe.
Nous avons en revanche été surpris de la réussite de l’expérience de la propriété de la courbe tautochrone : en lâchant nos deux billes à deux endroits différents sur les cycloïdes, on aperçoit bien que les deux arrivent en même temps en fin de courbe — même si naturellement pas avec la même vitesse.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{resultat.jpg}
\\
{\small \textit{L'atelier de courses à bille, avec au premier plan la cycloïde, au second plan la droite.}}
\end{center}

Cet atelier de courses de bille est visible et appartient désormais à l’Institut de Mathé-matiques de Bordeaux (dont le logotype est par ailleurs gravé sur la réalisation), et sera montré lors de futures portes ouvertes ou autres ateliers promouvant les mathématiques et les sciences, à destination du public. Cette production s’inscrit dans une logique de présentation des mathématiques, à caractère pédagogique. Elle permet de montrer la présence fondamentale des mathématiques dans des problèmes \og courants\fg, de parler à un public non-spécialisé de questions mathématiques, d'intriguer voire d'attirer des personnes vers ces domaines scientifiques. À partir d’un problème simple, et dont la réponse paraît évidente (mais fausse), la production permet d’évoquer les courbes cycloïdales, les équations paramétriques, de la physique également, voire de l’informatique, en parlant de sa conception. Certes, ce problème n’est pas commun dans l’enseignement mathématique, mais la production est un moyen réel de vérifier une démonstration, d’expliquer la mathématique, pour un public non-avisé.

\part*{III — Un aperçu de la construction de $\mathbb{R}$}
Il est cependant nécessaire, pour pouvoir expliquer un sujet, de bien le maîtriser ; et car ce stage d’excellence est aussi synonyme de stage de recherche, la quatrième semaine de ce stage a été consacrée à la découverte et à la recherche personnelles sur un thème mathématique de difficulté modérée, mais qui n’est plus étudié en licence : la construction des nombres réels. Ce sujet de stage m’a été proposé par Marcu-Antone \textsc{Orsoni}, doctorant au sein de l’Institut de Mathématiques de Bordeaux, avec qui j’ai pu échanger plusieurs fois afin de faire des retours et d'avoir des avis. L’ouvrage au cœur de ce sujet est le livre \textit{La Planète $\mathbb{R}$ : Voyage au pays des nombres réels} de Hassan \textsc{Boualem} et Robert \textsc{Brouzet}. Néanmoins, pour comprendre les notions mentionnées dans celui-ci, j’ai dû également étudier le livre \textit{Arithmétique} de François \textsc{Liret}, ouvrage permettant de comprendre des notions sinon vues en deuxième année de licence mathématique : relations d’équivalence, corps, anneaux…  Ainsi, pendant plusieurs jours, j’ai eu à étudier et à comprendre deux méthodes de construction des nombres réels, par les coupures de Dedekind et par les suites de Cauchy, notamment en réalisant des démonstrations non mentionnées dans l’ouvrage. 
\medskip

Une coupure de Dedekind d’un ensemble total ordonné, appelé E, est un couple \mbox{(A, B)} de sous-ensembles non vides de E tel que l’union de A et B soit E, leur intersection soit vide (c’est donc une partition de E), et que tout élément de A soit strictement inférieur à tout élément de B. Ainsi, une coupure de Dedekind divise l’ensemble en deux parties, avec comme marqueur de séparation un élément qui n’est pas nécessairement dans E, mais dont tous les éléments de la partie A sont strictement inférieurs, tous les éléments de la partie B sont supérieurs ou égaux. En ce sens, une coupure de Dedekind sur $\mathbb{Q}$, l’ensemble des rationnels, définit un des \textit{trous} de celui-ci : l’ensemble des rationnels n’est en effet pas dit complet — il existe des trous entre deux nombres rationnels consécutifs. En redéfinissant une coupure de $\mathbb{Q}$ comme le sous-ensemble de $\mathbb{Q}$ tel que tous les éléments de ce sous-ensemble soient strictement inférieurs à un élément hors de ce sous-ensemble, c’est-à-dire n’admette pas de plus grand élément, alors on peut assimiler l’ensemble des nombres réels à l’ensemble des coupures de $\mathbb{Q}$. En effet, on peut s’imaginer $\mathbb{R}$ à partir de l’ensemble des parties de nombres rationnels inférieurs à un certain élément, qui n’est pas dans $\mathbb{R}$… (par exemple, l’ensemble des rationnels inférieurs à $\sqrt{2}$)
\medskip

On peut également définir $\mathbb{R}$ à partir des suites de Cauchy. Une suite est de Cauchy lorsque les termes de la suite se rapprochent les uns des autres dans la suite, \mbox{autrement dit :} 
\[
\forall \epsilon > 0,\quad \exists N \in \mathbb{N},\quad \forall p,q \geqslant N,\quad | u_{p} - u_{q} | < \epsilon
\]
Or, tout réel peut être construit comme limite d’une suite de Cauchy à valeurs rationnelles : par exemple, le réel $\sqrt{2}$ est limite de la suite de Cauchy $(u_n)$ de rationnels définie par la relation de récurrence \[\begin{cases} u_{0}= 1\\u_{n+1} = \frac{u_{n}}{2}+ \frac{1}{u_{n}}\end{cases}\] L’idée est alors d’assimiler les réels comme l’ensemble des suites de Cauchy à valeurs rationnelles. Cependant, il faut quotienter, c’est-à-dire regrouper les suites de Cauchy, par une relation d’équivalence : la relation d’équivalence telle que deux suites soient équivalentes si elles ont la même limite.
\[
(u_{n}) \mathcal R (v_{n}) \Leftrightarrow \lim_{n \to +\infty}(u_{n}-v_{n})=0
\]
\newpage
On peut alors construire l’ensemble des réels comme l’ensemble des classes d’équivalence des suites de Cauchy de $\mathbb{Q}$, c’est-à-dire l’ensemble des ensembles de suites de Cauchy à même limite (par exemple, $\pi$ serait assimilié à l’ensemble des suites de Cauchy avec comme limite $\pi$).
\bigskip

Il y a cependant de nombreuses propriétés à démontrer pour vérifier que ces méthodes donnent l’ensemble des réels — il faut notamment vérifier leur complétude, qu’il y ait une relation d’ordre, définir leurs opérations… — qui ont été étudiées durant cette semaine. Les rencontres avec Marcu-Antone \textsc{Orsoni} ont permis de vérifier la bonne compréhension de ces notions, et le cas échéant de l’interroger en cas de problème. Ce travail de recherche est primordial pour les enseignants-chercheurs, et tout travail de pédagogie passe nécessairement par cette étape. À partir des travaux de recherche (et de compréhension d’autres réalisations), ceux-ci peuvent expliquer, contextualiser et faciliter l’appréhension de ces notions à un autre public, comme il a été fait ici.
\newpage
\part*{Conclusion}
Durant ces quatre semaines, j’ai vu et été personnellement investi dans trois degrés, trois étapes, de l’explication des mathématiques : de la compréhension de la recherche avec l’étude de la construction de $\mathbb{R}$, à la réalisation de visualisations et d’objet à caractère pédagogique, en passant par l’écriture de plans et d’exercices d’apprentissage pour futurs étudiants. Toutes les trois sont essentielles dans la volonté de faire apprendre, pour un public étudiant ou novice, les sciences, avec comme objectif la transmission du savoir. La recherche est évidemment nécessaire, pour comprendre d’abord ce qui est enseigné ensuite ; c’est le travail quotidien des enseignants-chercheurs dans leur domaine respectif, qui partagent par la suite leurs connaissances par des livres et autres ouvrages destinés au public scientifique. Les enseignants-chercheurs chargés de l’élaboration des programmes doivent également faire preuve de recul, afin de réaliser un programme et des cours explicatifs et compréhensifs, grâce à des outils innovants permettant aux étudiants de mieux comprendre le cours : visualisations, exercices en ligne, ressources spécifiques… Derrière le cours se cache tout un travail de réflexion qui est souvent invisible pour les étudiants. Et car les mathématiques ne sont pas réservées qu’à une élite, quoiqu’on en dise, des enseignants-chercheurs créent des initiatives visant à éduquer et attirer le public lambda vers la science, en les expliquant sans nécessité de bagage scientifique : la vulgarisation, qui ici est passée par la réalisation d’un atelier de courses de billes, mélangeant physique et mathématique. 
\bigskip

Ce stage d’excellence m’a ainsi permis de passer de l’autre côté du cours, pour voir les coulisses et les initiatives des enseignants-chercheurs pour l’apprentissage des connaissances. Grâce à eux, les mathématiques ne sont pas réservées à une infime partie de la population, mais bien ouvertes à tous et au \textit{commun des mortels}. Ce stage m’aura également fait apprendre de nombreuses compétences et langages informatiques : le LaTeX, qui compose ce rapport, le langage du format SVG, l’utilisation de logiciel de géométrie dynamique (GeoGebra), d’une imprimante laser… Autant de points qui sont nécessaires et seront réutilisés par la suite, durant mon cursus universitaire.
Je tenais enfin à remercier mon maître de stage Vincent \textsc{Bruneau}, ainsi que Chantal \textsc{Menini}, Xavier \textsc{Caruso} et Marcu-Antone \textsc{Orsoni} pour l’investissement et le temps qu’ils m’ont consacrés durant ce stage, ainsi que la Bibliothèque de recherche mathématique et informatique qui m’a accueilli durant les deux premières semaines, et M. Jean-Baptiste \textsc{Bonnemaison} et M. Pierre \textsc{Grangé-Pradéras} pour l'ouverture des portes de leur laboratoire de fabrication.
\bigskip

Pour la suite de mon cursus étudiant, et après avoir bien découvert le monde de la recherche, je ne souhaite toutefois pas y continuer et devenir enseignant-chercheur. Ce stage d’excellence m’aura en effet bien montré toutes les qualités, les compétences nécessaires à la recherche scientifique, et je n’y suis pas destiné. A l’inverse, il m’a conforté dans mon projet universitaire : je me suis en effet plu à étudier les cours, à analyser les ressources et les exercices en ligne, à proposer des suggestions de programme ainsi qu’à créer les visualisations qui seront utilisées cette année. La pédagogie et l’enseignement me plaisent, et sont réellement la vocation que je porte pour mon avenir. À ce titre, le stage d’excellence que j’ai réalisé a permis de confirmer mon projet professionnel, être enseignant dans le secondaire, pour toute la pédagogie et l’attention nécessaire au partage de connaissances à des élèves. J’en sors ainsi motivé, et confiant pour mon avenir.

\newpage
\part*{Annexes}
\begin{enumerate}
\item Rapport d'évaluation des exercices WIMS
\item Concepts d'exercices WIMS
\item Visualisations de notions de L1
\item Documentation technique et scientifique de l'atelier de course de billes
\end{enumerate}

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\includepdf[pages=-]{stage-wims-rapport-2.pdf}
\includepdf[pages=-]{exercices-wims.pdf}
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{\LARGE \textbf{Visualisations de notions de L1}}
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Les visualisations animées créées à partir de GeoGebra et destinées aux étudiants sont disponibles sur Internet, sur les pages suivantes. Sont ici également précisées les descriptions qui accompagnent les animations sur la plateforme \textit{Moodle}.
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\begin{itemize}
\item \textbf{Formules d'Euler} \\ On cherche ici à visualiser les formules d’Euler (chapitre 4.2), pour tout nombre complexe de module 1, c’est-à-dire sur le cercle trigonométrique, avec la partie complexe sur l’axe des ordonnées. Sélectionnez un bouton à la fois pour afficher une visualisation de la formule correspondante. Vous pouvez faire varier l’angle $\theta$ avec le curseur en haut à gauche. \\
On comprend alors tout nombre complexe de module 1 comme somme du cosinus, et du sinus multiplié par $i$, d’un de ses arguments (ici, le principal). \\
Pour retrouver le cosinus (respectivement sinus), on ajoute (respectivement soustrait) au vecteur origine (représentant le complexe $e^{i\theta}$) son symétrique par rapport à l'axe des abscisses (représentant le complexe conjugué $e^{-i\theta}$) : on a ainsi additionné (ou soustrait) $e^{i\theta}$ et $e^{-i\theta}$. On obtient ainsi le double de $\cos (\theta)$ (respectivement le double de $i\sin (\theta)$). \\ \texttt{https://www.chaud.xyz/stage/geogebra/euler/}
\item \textbf{Racines $n^{i\grave{e}mes}$ de l'unité} \\On veut ici comprendre la proposition 4.8 du cours, sur les racines $n^{i\grave{e}mes}$ de l’unité. Pour cela, vous pouvez vous-même déplacer le nombre complexe \(z\). La puissance $n^{i\grave{e}me}$ est affichée (par défaut, $n = 4$) : à vous de déplacer $z$ pour déterminer les valeurs de $z$ telles que $z^n = 1$. Les racines s’affichent, sous leur forme exponentielle, lorsque vous les trouvez. \\
Pour comprendre d’où sort la puissance affichée, vous pouvez activer la case \og Afficher les puissances\fg\ : on aperçoit bien que $z^n = (e^{i\theta})^{n} = e^{in\theta}$. Vous pouvez également afficher directement toutes les racines. N’hésitez pas à faire varier $n$, avec le curseur, pour mieux comprendre (et retenir) la formule. \\ \texttt{https://www.chaud.xyz/stage/geogebra/racines/}
\item \textbf{Sommes supérieure, inférieure} \\ Ici sont présentées les notions de sommes supérieure et inférieure, sur la fonction définie et dans le cas particulier où la subdivision est régulière. Vous pouvez faire varier $n$, le nombre d'intervalles de la subdivision des fonctions en escalier. Les valeurs des sommes sont inscrites sous la courbe : vous pouvez calculer l'intégrale entre ces points, et comparer le résultat. \\ \texttt{https://www.chaud.xyz/stage/geogebra/sommes/}
\item \textbf{Somme de Riemann} \\  On veut ici illustrer la formule de convergence des sommes de Riemann, sur la fonction définie. Cliquez sur le bouton pour faire varier $n$, le nombre d'intervalles de la subdivision de la fonction en escalier. Vous pouvez également déplacer les bornes de l’intégrale, ou choisir de prendre la borne à gauche ou à droite de chaque point (cf. cours). \\
L’intégrale de la fonction en escalier s’affiche sous la courbe : vous pouvez calculer l'intégrale de entre vos points (c’est une fonction de référence…), et comparer le résultat. Plus on augmente $n$, plus le pas de la subdivision est petit, et lorsque tend vers l’infini on tend vers l'intégrale souhaitée. \\ \texttt{https://www.chaud.xyz/stage/geogebra/riemann/}
\end{itemize}
\includepdf[pages=-]{doc-billes-2.pdf}	

\end{document}
